A MỘT SỐ LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG - Các công thức thường gặp
1. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
- Đơn vị đo góc và cung tròn: $1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \text{ rad}$ và $1\text{ rad}=\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^{\circ}$
- Độ dài cung tròn: Một cung của đường tròn bán kính $R$ có số đo $\alpha$ rad thì sẽ có độ dài là $l=R\alpha$.
2. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Công thức lượng giác cơ bản:
- $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$
- $1+\tan^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}$, với $\alpha\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$
- $1+\cot^{2}\alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}$, với $\alpha\ne k\pi$
- $\tan \alpha\cdot \cot \alpha=1$, với $\alpha\ne\dfrac{k\pi}{2}$
Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
Thần chú ghi nhớ
"Cos đối - Sin bù - Phụ chéo"
Góc đối nhau: $\alpha$ và $-\alpha$
- $\cos(-\alpha)=\cos \alpha$
- $\sin(-\alpha)=-\sin \alpha$
- $\tan(-\alpha)=-\tan \alpha$
- $\cot(-\alpha)=-\cot \alpha$
Góc bù nhau: $\alpha$ và $\pi-\alpha$
- $\sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha$
- $\cos(\pi-\alpha)=-\cos \alpha$
- $\tan(\pi-\alpha)=-\tan \alpha$
- $\cot(\pi-\alpha)=-\cot \alpha$
Góc phụ nhau: $\alpha$ và $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$
- $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos \alpha$
- $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha$
- $\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot \alpha$
- $\cot(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\tan \alpha$
Góc hơn kém $\pi$: $\alpha$ và $\alpha+\pi$
- $\sin(\alpha+\pi)=-\sin \alpha$
- $\cos(\alpha+\pi)=-\cos \alpha$
- $\tan(\alpha+\pi)=\tan \alpha$
- $\cot(\alpha+\pi)=\cot \alpha$
3. Công thức cộng
- $\sin(a+b)=\sin a \cos b+\sin b \cos a$
- $\sin(a-b)=\sin a \cos b-\sin b \cos a$
- $\cos(a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b$
- $\cos(a-b)=\cos a \cos b+\sin a \sin b$
- $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a \tan b}$
- $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a \tan b}$
Mẹo ghi nhớ:
"Sin bằng sin cos cos sin
Cos bằng cos cos sin sin dấu trừ"
4. Công thức nhân đôi
- $\sin 2a=2 \sin a \cos a$
- $\cos 2a=\cos^{2}a-\sin^{2}a=2\cos^{2}a-1=1-2\sin^{2}a$
- $\tan 2a=\dfrac{2 \tan a}{1-\tan^{2}a}$
5. Công thức hạ bậc
- $\sin^{2}a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}$
- $\cos^{2}a=\dfrac{1+\cos 2a}{2}$
- $\tan^{2}a=\dfrac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}$
6. Công thức biến đổi tích thành tổng
- $\cos a \cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$
- $\sin a \sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)]$
- $\sin a \cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$
- $\cos a \sin b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)-\sin(a-b)]$
Mẹo ghi nhớ:
"Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ."
7. Công thức biến đổi tổng thành tích
- $\cos a+\cos b=2 \cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
- $\cos a-\cos b=-2 \sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
- $\sin a+\sin b=2 \sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
- $\sin a-\sin b=2 \cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
Mẹo ghi nhớ:
"Góc chia đôi: trước cộng, sau trừ
Cos cộng cos là 2 cos cos
Cos trừ cos trừ 2 sin sin
Sin cộng sin là 2 sin cos
Sin trừ sin là 2 cos sin."
B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ
1. Hàm số $y=\sin x$
Đồ thị hàm số $y = \sin x$
- Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}$
- Tập giá trị: $[-1;1]$, tức là $-1\le \sin x\le 1 \ \forall x\in\mathbb{R}$
- Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
- Hàm số $y=\sin x$ tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$, nghĩa là $\sin(x+k2\pi)=\sin x$, với $k\in\mathbb{Z}$
- Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{\pi}{2}+k2\pi)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $(\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi)$ với $k\in\mathbb{Z}$.
2. Hàm số $y=\cos x$
Đồ thị hàm số $y = \cos x$
- Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}$
- Tập giá trị: $[-1;1]$, tức là $-1\le \cos x\le 1 \ \forall x\in\mathbb{R}$
- Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.
- Hàm số $y=\cos x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$, nghĩa là $\cos(x+k2\pi)=\cos x$, với $k\in\mathbb{Z}$
- Hàm số $y=\cos x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi+k2\pi;k2\pi)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi;\pi+k2\pi)$ với $k\in\mathbb{Z}$.
3. Hàm số $y=\tan x$
Đồ thị hàm số $y = \tan x$
- Điều kiện: $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$
- Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\}$
- Tập giá trị: $\mathbb{R}$; Là hàm số lẻ.
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$, nghĩa là $\tan(x+k\pi)=\tan x$, với $k\in\mathbb{Z}$
- Hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi)$ với $k\in\mathbb{Z}$.
4. Hàm số $y=\cot x$
Đồ thị hàm số $y = \cot x$
- Điều kiện: $\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$
- Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{k\pi, k\in\mathbb{Z}\}$
- Tập giá trị: $\mathbb{R}$; Là hàm số lẻ.
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$, nghĩa là $\cot(x+k\pi)=\cot x$, với $k\in\mathbb{Z}$
- Hàm số $y=\cot x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi;\pi+k\pi)$ với $k\in\mathbb{Z}$.