Lý thuyết: Tính Đơn điệu và Cực trị

1 Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $K$ với $K$ là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Hàm số $y=f(x)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_{1}, x_{2} \in K$, $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})$.
Nếu hàm số đồng biến trên $K$ thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
Hàm số $y=f(x)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_{1}, x_{2} \in K$, $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})$.
Nếu hàm số nghịch biến trên $K$ thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Hình 1. Hàm số đồng biến trên $(a;b)$

Hình 2. Hàm số nghịch biến trên $(a;b)$

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$.

Nếu $f'(x) \ge 0$, $\forall x \in K$ và $f'(x) = 0$ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên $K$ thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $K$.
Nếu $f'(x) \le 0$, $\forall x \in K$ và $f'(x) = 0$ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên $K$ thì hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $K$.

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ và điểm $x_{0} \in (a;b)$.

Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) < f(x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0}-h ; x_{0}+h) \subset (a;b)$ và $x \ne x_{0}$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$.
Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) > f(x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0}-h ; x_{0}+h) \subset (a;b)$ và $x \ne x_{0}$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$.

Ghi chú:

Nếu hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$ thì: $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số, $f(x_{0})$ là giá trị cực đại ($y_{\text{CĐ}}$), và $M(x_{0};f(x_{0}))$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Nếu hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$ thì: $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số, $f(x_{0})$ là giá trị cực tiểu ($y_{\text{CT}}$), và $M(x_{0};f(x_{0}))$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a;b)$ và có điểm cực trị là $x_{0} \in (a;b)$ thì $f'(x_{0}) = 0$.

Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $K=(x_{0}-h ; x_{0}+h)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc trên $K \setminus \{x_{0}\}$, với $h > 0$.

Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x_0$ thì $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số $f(x)$.
Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x_0$ thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$.