1 Định nghĩa
Định nghĩa:
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $D$.
- Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $y=f(x)$ trên $D$, nếu $f(x) \le M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0)=M$. Kí hiệu: $M = \max\limits_{D} f(x)$.
- Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y=f(x)$ trên $D$, nếu $f(x) \ge m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0)=m$. Kí hiệu: $m = \min\limits_{D} f(x)$.
Chú ý: Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ (mà không cho rõ tập hợp $D$) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập xác định của nó.
Nhận xét: Nếu biết đồ thị của hàm số trên tập hợp $D$, ta có thể xác định được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $D$.
2 Định lý và Quy tắc tìm GTLN, GTNN
Định lý:
Mọi hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$ đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
- Nếu hàm số $f(x)$ đồng biến trên đoạn $[a;b]$ thì $\max\limits_{[a;b]} f(x) = f(b)$ và $\min\limits_{[a;b]} f(x) = f(a)$
- Nếu hàm số $f(x)$ nghịch biến trên đoạn $[a;b]$ thì $\max\limits_{[a;b]} f(x) = f(a)$ và $\min\limits_{[a;b]} f(x) = f(b)$
Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên một đoạn
Xét hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$.
Tìm các điểm $x_1; x_2; ...; x_n$ trên khoảng $(a;b)$, tại đó $f'(x)$ bằng $0$ hoặc $f'(x)$ không xác định (gọi là các điểm tới hạn).
Tính các giá trị $f(a); f(x_1); f(x_2); ...; f(x_n); f(b)$.
So sánh các giá trị vừa tính. Tìm số lớn nhất $M$ và số nhỏ nhất $m$ thì:
$\begin{cases} M = \max\limits_{[a;b]} f(x) \\ m = \min\limits_{[a;b]} f(x) \end{cases}$
Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên một khoảng
Xét hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$.
Tìm các điểm $x_1; x_2; ...; x_n$ trên khoảng $(a;b)$, tại đó $f'(x)$ bằng $0$ hoặc $f'(x)$ không xác định (gọi là các điểm tới hạn).
Vẽ bảng biến thiên của hàm số trên $(a;b)$. Điền các điểm $x_1; x_2; ...; x_n$ trên khoảng $(a;b)$ vào bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm và vẽ bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.