1 Đường tiệm cận đứng
Định nghĩa: Đường thẳng $x=a$ được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
$$ \lim\limits_{x\to a^+}f(x)=+\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim\limits_{x\to a^-}f(x)=+\infty $$
$$ \lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim\limits_{x\to a^-}f(x)=-\infty $$
$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=+\infty$
$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=+\infty$
$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=-\infty$
Chú ý: Đồ thị hàm số có thể không có tiệm cận đứng, có thể có một tiệm cận đứng, có thể có nhiều tiệm cận đứng hoặc có thể có vô số tiệm cận đứng.
2 Đường tiệm cận ngang
Định nghĩa: Đường thẳng $y=m$ được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu:
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=m \quad \text{hoặc} \quad \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=m $$
Chú ý: Đồ thị hàm số hoặc không có tiệm cận ngang, hoặc có một tiệm cận ngang hoặc có tối đa hai tiệm cận ngang.
3 Đường tiệm cận xiên
Định nghĩa: Đường thẳng $y=ax+b$ ($a \neq 0$) được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu:
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(ax+b)]=0 \quad \text{hoặc} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(ax+b)]=0 $$
Nhận xét 1:
-
1
Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số $a$, $b$ trong phương trình của đường tiệm cận xiên $y=ax+b$ theo công thức như sau:$$ a=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}, \quad b=\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-ax] $$
hoặc
$$ a=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}, \quad b=\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-ax] $$ -
2
Khi $a=0$ thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=b$.
Nhận xét 2:
- Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận xiên thì tập xác định của hàm số phải chứa khoảng vô cực.
- Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có thể không có, có một hoặc nhiều điểm chung với đồ thị hàm số.
- Một đồ thị chỉ có tối đa hai đường tiệm cận xiên (tức là có thể không có, có một hoặc hai TCX).
Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất / bậc nhất
Cho hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có $c \neq 0$ và $ad - bc \neq 0$ có đồ thị là $(C)$.
Khi đó, đồ thị hàm số $(C)$ có:
- Tiệm cận đứng: $x=-\dfrac{d}{c}$
- Tiệm cận ngang: $y=\dfrac{a}{c}$
- Không có tiệm cận xiên.
Tiệm cận của đồ thị hàm số bậc hai / bậc nhất
Cho hàm số $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{mx+n}$ ($a \neq 0$; $m \neq 0$, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu).
Đồ thị hàm số có:
- Tiệm cận đứng: $x=-\dfrac{n}{m}$
- Tiệm cận xiên: $y=\dfrac{a}{m}x-\dfrac{an-bm}{m^2}$
- Không có tiệm cận ngang.